О теоремах

[himself]

В математике теоремы получаются двумя способами. Первый - выдумать красивый факт и доказать его. Второй - попробовать доказать хоть что-нибудь, и назвать теоремой то, что получится. Второе часто стараются выдать за первое, и зря.
Авторам учебников не нужно стесняться называть чёрное чёрным. Теоремы, условия которых рождались в процессе доказательства, нужно оформлять так же:

Теорема 4.1. Условия, при которых выполняется неравенство (1). Выведем эти условия:
1. Сделаем первое.
2. Сделаем второе.
3. Сделаем третье.
Итого: получились такие условия.

К сожалению, излишний опыт мешает людям глядеть на вещи трезво. Им начинает казаться, что полученный случайным образом результат очевиден и красив сам по себе. Они оформляют теорему так:

Теорема 4.1. Пусть А, Б и В, причём Г подчиняется Д, а Ж неспроста. Пусть, кроме того, К меньше Р и Г в кольце Д сравнимо с А по модулю Ж. Условимся считать А и З эквивалентными в смысле У и голоморфными каждому подпространству Б и В. В таких условиях верно неравенство (1).

Читая книгу, люди обычно стараются понять смысл сразу же. Мы не комьютеры, нам сложно набивать голову произвольными условиями, чтобы потом, в процессе доказательства, понять их важность. Лучше сначала объяснить причины, а уже затем сделать выводы.

Comments

[Гость]

А ещё лучше такой вариант:
Теорема 4.1.
Предпосылка.
1. Сделаем первое.
2. Сделаем второе.
3. Сделаем третье.
Формулировка. Пусть А, Б и В, причём Г подчиняется Д, а Ж неспроста. Пусть, кроме того, К меньше Р и Г в кольце Д сравнимо с А по модулю Ж. Условимся считать А и З эквивалентными в смысле У и голоморфными каждому подпространству Б и В. В таких условиях верно неравенство (1).
Синопсис доказательства. (1) Покажем, что имеет место быть связь между тем-то условием теоремы и таким-то выражением. (2) Покажем что связь единственная. (3) Предположим обратное неравенству формулировке. (4) Покажем что это вступает в противоречие с таким-то условием.
Доказательство. С этого момента страница делится на двое по вертикали и слева доказательство ведётся на языке первого порядка, а справа словами в максимально доступной форме.
Пример применения на практике. Теорему удобно применять тогда-то и тогда-то за тем-то и за тем-то.

Ага, мечтать не вредно. Только такая книга отучит думать и разрастётся в четыре тома. На практике так не пишут. И ни одна серьёзная научная книга не предполагает последовательного чтения. Так или иначе придётся скакать взад-вперёд по тексту. И на это весь расчёт. Вы прочитаете предпосылки, потом формулировку, потом снова предпосылки, загляните в доказательство, и разберёте пример. Тогда, и только тогда, что-то поймёте и запомните. В противном же случае, через пару дней все выйдет впустую. И все потому, что человек не обращает внимания на то, к чему он не приложил усилия. А повторение, как известно, мать учения

Если же вы не гонитесь за пониманием и хотите только воспользоваться данной теоремой, то скорее всего где-нибудь найдется книга с прямолинейным изложением, не отягощённым доказательством.

// ssvda

[himself]

ssvda: Чересчур разжёвывать вредно - полностью согласен. Но читать доказательство, не поняв условий - тоже плохо. Так, возможно, и запомнишь теорему - но лишь потому, что вместо двух раз её придётся прочитать двадцать. Это нечестно; это не улучшение, а просто перекладывание работы на плечи читающего.

Я не прошу разжёвывать текст для дураков, но изложение должно быть последовательным, то есть в каждый момент читатель должен видеть, как из вышесказанного следует новое, и где в общей картине вещей он находится. Именно так текст будет хорошо запоминаться. Читатель сразу будет знать, куда класть полученные факты.
Он, может быть, прочитает не двадцать раз, а два, но запомнит не хуже.

Нынешний стиль удобен как раз тем, кто хочет не понять, а только воспользоваться. Им - да, полезно: все условия выписаны сразу, вверху. Прочёл, проверил, применил. Но для таких людей следует выпускать отдельные справочники, вообще без доказательств. А учебники, то есть книги, которые объясняют - должны объяснять, а не запутывать, вынуждая распутываться самому.

[Гость]

Это все верно.

Но, при написании книг негоже, чтобы текст разрастался. Если то, что можно уместить в одном томе, будет помещено в 10, это никто и никогда не напечатает. Да и читать будет сложновато. За компактность изложения, так же, приходится платить свою цену.

Я не говорил о 20ти кратном перечтении. Если человек понимает и запоминает теорему только после 20ти кратного прочтения, то скорее всего он ошибся факультетом. Но двукратное прочтение --- это почти норма: сначала читаешь и понимаешь, что главное а что нет, а потом читаешь, делая акценты на главном. Ну может ещё разок перечитать, чтобы получить картину в целом.

Минус прямого изложения (как я уже говорил) в том, что тогда человек все поймёт, и даже запомнит... минут на 15. Когда изложение линейное, и человек не напрягается и не доходит до каких-то вещей своим умом, он не будет ни на чём заострять внимание: "Прочитал. Хорошо прочиталось. Вроде понятно. Ну ладно, пойдем дальше. 15 минут прошло. О чем это я там читал? Вроде что-то помню... Доказать могу? Нет".

[Гость]

Я не призываю со мной соглашаться, но я глубоко уверен, что люди не могут _передавать_ друг-другу знания. Человек знает и помнит только то, до чего сам дошёл т.к. это означает, что он владеет материалом и знает основные принципы, а как следствие всегда сможет выполнить то или иное умозаключение сам. Процесс обучения состоит в том, что преподаватель подталкивает студента к самостоятельному совершению тех или иных выводов (ну, хороший преподаватель). При этом он сообщает набор сведений, но вывод делает ученик/студент.

Изложение, в котором всегда понятно где ты находишься, где всегда видна общая картина приведет к тому, как раз, что эту общую картину студент и не поймёт. Изложение, в котором понятно как из вышесказанного следует новое приведет к тому, что студент не научится получать это новое из вышесказанного (прошу прощения за кривизну фразы).

Опять же, я не говорю, что нужно запутывать и/или шифровать тексты --- нет. Но делать их прозрачными --- тоже вредно. Я не знаю, что за книга побудила к созданию первого поста, возможно она и неудачная. Но принцип в целом, мне по крайней мере, порочным не кажется.

// ssvda (прошу прощения, что не уложился в один пост)

[himself]

Минус прямого изложения (как я уже говорил) в том, что тогда человек все поймёт, и даже запомнит... минут на 15.
Ничего подобного. Как я (тоже) уже говорил, разжевать и объяснить - разные вещи. Если разжёвывать - да, забудет. Объяснять - не значит "думать за человека". Просто не заставлять его думать над бессмысленными вещами. Такой стиль изложения - то же самое, что тренировать спортсмена: "пойди принеси шкаф из магазина, только не по прямой, а кругом в двадцать километров". Ну да, у него будут сильные ноги. Но нам шкаф нужен, а не ноги, в данный момент!

Т.е. таким манером можно вырастить математических маньяков; людей, помешанных на математике - это да. Они будут с удовольствием делать лишнюю работу, распутывая то, что можно было и не запутывать. Но вообще нормальный человек обычно решает задачу на руках, а не задачу на руках + ещё 15 лишних задач спортивного интереса ради.

Ну вот пример типично построенной лекции:
1. Докажем лемму 1. (Ну докажем, а зачем?)
2. Докажем лемму 2. (Ну докажем, а зачем?)
3. Вспомним такую-то теорему. Введём такие-то определения. (Ну хорошо, а зачем?)
[...]
15. Применим такую-то лемму. Получим результат. (читатель бы обрадовался, но он уже бросил читать)

Беда в том, что этим "зачем" накапливаются, и в какой-то момент человек вообще перестаёт понимать, к чему всё это. Потому, что текст выглядит разбродом бессмысленных, ни к чему не нужных теорем. Да, на свете есть тысячи теорем. А выдумать можно миллиарды. Самим по себе им цена - грош. Они нужны только для какой-то цели. Если эта цель не заявлена - рано или поздно становится ничего не понятно вообще.

То, о чём я говорил в посте - это вариант этой же схемы. Только вопросы "зачем" возникают при прочтении условий. Почему так, а не иначе? Почему требуется то, а не другое?

И самое плохое, что такой метод изложения убивает математическую внимательность. Потому, что, если ты знаешь цель, видишь план - ты можешь по шагам проверять его исполнение. Если ты плана и цели не знаешь, остаётся только принимать текст до некоторой степени на веру. Тут уже не до дотошной проверки мелочей - увидеть, хотя бы, общую цель.
Сложно проверять, что ты на правильном пути, когда не знаешь, куда идёшь.

[himself]

Ну вот например, есть у нас теорема:
В таком-то типе пространств при такой-то введённой норме такой-то тип отображений с такими-то условиями на производную и такими-то условиями убывания а также таким-то ограничением сверху подчиняется такому-то неравенству.
Что я вижу, читая это условие? Хайнлайновское "можно нажимать на зелёную кнопку, если открыта левая дверца и горит красная лампа, если только не повёрнута первая ручка или не открыта правая дверца, за исключением тех случаев, когда красная лампа горит, но поддон вынут, и не повёрнута вторая ручка, - всё это, если не горит фиолетовая лампа либо не нажата красная кнопка, если только не повёрнута правая ручка".
Абсолютно бессмысленное условие - само по себе.

Эту же теорему можно сформулировать так:
Для задачи (1) нам будет нужно такое неравенство. Получим условия, при которых оно выполняется в пространствах такого-то вида (пространство задачи 1 входит в их число).
[...получаем условия...]
Мы получили такие-то условия на производную и такие-то условия убывания. Они нас устраивают.
Это совершенно другое дело.

[Гость]

В принципе, это эквивалентно разбору примера до теоремы, в котором эта теорема применяется. Это, однако, совершенно не тоже самое, что давать изложение примерами.

Сама математика носит существенно абстрактный характер. Она ни откуда не берется: с точки зрения математики все аксиомы и определения просто привнесены в неё "извне". Все, что есть в математике: это серия не противоречивых высказываний, совершенно бессмысленных по сути. Все приложения математики -- суть просто примеры, в которых мы проводим аналогию между явлением и моделью. Но если модель математическая, то она абстрактная и самодостаточная. Она существует в отрыве от явления.

Подобный способ формулировки подчёркивает это важное обстоятельство.

Учебник/справочник. Как я уже говорил, бумага дорого стоит . Книга должна допускать использование и как учебник, и как справочник. Следовательно, материал, должен быть подан соответствующим образом. Ещё раз замечу, что в справочнике вообще не целесообразно приводить доказательство. Достаточно формулировки.

Я не отрицаю, что существуют не удачно построенные книги. Но почти всегда можно перед _прочтением_ главы пробежать её глазами, выбрать на чём акцентировать внимание. Когда речь идёт о леммах, имеет смысл сначала прочитать все формулировки, а потом просмотреть доказательство теоремы. Если речь о теореме, то просто пробежаться по доказательству и осознать зачем какое условие в формулировке нужно. Тем более, что чаще всего (если их много) в доказательстве указывается и какого условия следует тот или иной вывод.

[Гость]

Сколько угодно можно сетовать на плохих авторов, которые выбрали не верную систему. Но практика показывает, что в этой системе можно ориентироваться. Тут срабатывает принцип оптимизации. Сократить повествование, но заставить читателя работать, либо наоборот. Научные книги не предназначены для быстрого чтения. Поэтому, обычно, у читателя есть время, чтобы прочитать ту или иную главу лишний раз.

Я сейчас говорю от себя: меня не выбивает из колеи такое построение книги. Я в ней ориентируюсь. По крайней мере потому, что я вижу структуру. Если я вижу лемму, то знаю что она будет использована дальше. Я загляну вперёд и посмотрю как она используется (если это не понятно из формулировки). Наоборот, книги с не чёткой структурой очень не удобны т.к. начинаешь в их тексте вязнуть. В результате, то что можно было бы сказать в одной фразе разнесено на несколько. Да ещё и здоровых. И хорошо если несколько фраз, а не страниц. По мере чтения такого текста, начинаешь путаться во всей этой воде. Теряешь мысль. Тебе сформулировали задачу. Ну вроде да. И только через пол страницы выясняется, что с ней надо делать и какие у неё есть свойства. Это читать не удобно. (ИМХО)

У меня появилось ощущение, что спор этот бесконечный. Произрастает он из разных подходов к математике в частности и восприятию информации в общем. Ну что же, наверное так и есть. В этом случае, оба подхода заслуживают права на жизнь. Но не надо критиковать весь класс книг. Книги бывают разные. И если не нравится изложение в какой-то одной, можно найти другую.

// ssvda